Pe vremea când nu era încă Ministru la Ministerul Muncii, Marius Constantin Budăi a rămas pieton. La acel moment polițiștii i-au suspendat permisul de conducere, după ce acesta fusese prins conducând cu 121 de kilometri la oră în localitate. Deși deputatul Budăi depunea o plângere contravenţională, magistrații au repsins cererea acestuia.
În februarie anul curent, Marius Constantin Budăi era deputat PSD în circumscripția Botoșani și vicepreședinte al Camerei Deputaților. La acel moment actualul ministru al Muncii avea să rămână fără carnetul de conducere, după ce a fost prins conducînd în localitate cu viteză.
În timp ce se deplasa prin localitatea localitatea Pufeşti din Vrancea, polițiștii de la rutieră luau decizia de a-i suspenda carnetul de conducere. Radarul îl înregistra pe Marius Constantin Budăi conducând cu 121 de kilometri la oră.
Suspendarea este pentru 90 de zile, și în afară de asta, a fost obligat să plătească și o amendă contravențională de 1.305 lei. După acest moment, deputatul depunea o plângere contravenţională, dar magistrații de pe lângă Tribunalul Adjud luau decizia în 23 iunie de a repsinge cererea acestuia, fiind ca nefondată, pe baza dovezilor aduse de reprezentații poliției rutiere.
Ulterior, Budăi depune încă un astfel de demers la Tribunalul Vrancea, dar și aici magistrații aveau să-i respingă cererea, în acest moment devenind una definitivă.
Marius Constantin Budăi nu este la primul său mandat la Ministerul Muncii și Protecției Sociale. În perioada guvernării Dăncilă, a ocupat aceași funcție din 2018 și până în 2019, când avea să cadă guvernul condus atunci de Viorica Dăncilă.
Intra în guvernul Dăncilă din postura de președinte al Comisiei de buget-finanțe din Camera Deputaților, și prelua funcția de la Lia Olguța Vasilescu. La alegerile din decembrie 2020, Marius Constantin Budăi intra, din nou, pe listele PSD, la Camera Deputaților.
După moțiunea de cenzură împotriva premierului Florin Cîțu, partidul său intra la negocieri pentrun formarea unui nou guvern de coaliție, PSD-PNL-UDMR.
Echipa guvernamentală propusă de PSD avea să-l readucă pe acesta ca și nominalizat pentru funcția de ministru la Ministerul Muncii și Protecției Sociale.
După votul din Parlamentul României, echipa guvernamentală condusă de Nicolae Ciucă, și cu Marius Constantin Budăi ca și ministru, avea să-și înceapă mandatul de doi ani.
În vârstă de 49 de ani, actualul ministru a mai deținut în trecut și funcția de director executiv al Casei Judeţene de Pensii Botoşani, între anii 2013-2016. Din 2016 a fost deputat PSD, pe listele circumscripției Botoșani.